Kurt Gödel

Kernidee in Kürze

Gödel bewies 1929, dass die Prädikatenlogik erster Stufe vollständig ist, und 1931, dass es in jedem widerspruchsfreien formalen System, das genug Arithmetik enthält, wahre arithmetische Aussagen gibt, die sich in diesem System weder beweisen noch widerlegen lassen. Außerdem zeigte er, dass ein solches System seine eigene Widerspruchsfreiheit nicht mit seinen eigenen Mitteln beweisen kann.

Wer Gödel war

Österreichisch-amerikanischer Logiker und Mathematiker, der mit den Unvollständigkeitssätzen zeigte, dass ein widerspruchsfreies formales System, das genug Arithmetik enthält, weder alle wahren arithmetischen Aussagen beweisen noch seine eigene Widerspruchsfreiheit nachweisen kann.

Gödel steht für die Grenzen des Beweisens in der Logik. Als Student besuchte er die Treffen des Wiener Kreises, war aber selbst kein logischer Positivist, also kein Anhänger der Auffassung, dass nur durch Erfahrung prüfbare oder rein logische Sätze einen Sinn haben. Die Stanford Encyclopedia of Philosophy hält in ihrem Eintrag zu Tarski fest, dass dieser oft als größter Logiker des 20. Jahrhunderts gleich nach Gödel gilt.

Kernidee genauer

Damit war das Programm von David Hilbert nicht durchführbar, soweit es für die Mathematik zugleich Vollständigkeit und einen solchen Beweis der Widerspruchsfreiheit verlangte. Philosophisch vertrat Gödel einen mathematischen Platonismus, also die Ansicht, dass die Mathematik eine beschreibende Wissenschaft ist und mathematische Begriffe objektiv existieren.

Biografischer Moment

Belegter Einfluss Die angegebenen Quellen dokumentieren, dass dieses Erlebnis das Denken beeinflusst hat. Belegt heißt dokumentiert, nicht bewiesen.

Nach der Stanford Encyclopedia of Philosophy besuchte Gödel schon als Student die Treffen des Wiener Kreises um Moritz Schlick. Er war selbst kein logischer Positivist, doch diese Diskussionen hätten ihn entscheidend geprägt.^[1]

Fundstelle: Abschnitt 1

Bekannt für

Man kennt Gödel für die Unvollständigkeitssätze, die oft ungenau als „In der Mathematik gibt es unbeweisbare Wahrheiten“ wiedergegeben werden, und für seine Freundschaft mit Albert Einstein in Princeton. Ein Alltagsbild: Ein Regelwerk, das ausführlich genug ist, um Rechnen zu erlauben, kann nicht alle Fragen, die es stellen lässt, auch selbst beantworten.

Theorien mit Alltagsbeispiel

Begriffe

Vollständigkeitssatz

Unvollständigkeitssätze

Hilbertsches Programm

mathematischer Platonismus

Rationalismus

Kontext

Was das Denken geprägt oder verzerrt haben könnte: Geld, Abhängigkeit, Biografie.

• Zeitgeschehen belegt

  Bis zum Ende der 1930er Jahre waren Gödels Doktorvater Hans Hahn und Moritz Schlick gestorben; Schlick wurde von einem früheren Studenten ermordet. Gödels Stelle als Privatdozent an der Universität Wien wurde durch eine „Dozentur neuer Ordnung“ ersetzt, die nur nach einer rassischen Prüfung vergeben wurde, und die nationalsozialistische Regierung stufte ihn 1939 als tauglich für den Militärdienst ein. 1940 verließ er Österreich und wanderte mit seiner Frau Adele in die Vereinigten Staaten aus.^[1]

• Biografie belegt

  Gödel litt seit ungefähr dem vierten Lebensjahr immer wieder unter schlechter Gesundheit, und gesundheitliche Beschwerden begleiteten ihn nach der Stanford Encyclopedia of Philosophy sein ganzes Leben.^[1]

• Biografie belegt

  In Princeton am Institute for Advanced Study wurde Albert Einstein sein enger Freund und täglicher Spaziergangspartner. Gödel blieb dort bis zu seiner Pensionierung 1976 und kehrte nie nach Europa zurück.^[1]

Kritik

In seiner Vorlesung von 1951 schrieb Gödel selbst, seine Überlegungen seien kein wirklicher Beweis seiner Ansicht über das Wesen der Mathematik; höchstens habe er die Auffassung widerlegt, die Mathematik bestehe nur aus sprachlichen Festlegungen und deren Folgen.

Wirkung heute

Die Stanford Encyclopedia of Philosophy zählt die Unvollständigkeitssätze zu den wenigen Meilensteinen der Mathematik des 20. Jahrhunderts. Nach ihr deutete John von Neumann sie schon 1930 und 1931 in Briefen als Zeichen dafür, dass sich das Programm Hilberts nicht verwirklichen lässt.

Lebensstationen

1. 1906Geburt in Brünn (28. April)
2. 1924Beginn des Studiums an der Universität Wien
3. 1929Abschluss der Doktorarbeit bei Hans Hahn mit dem Vollständigkeitssatz für die Logik erster Stufe; der Doktorgrad wurde im Februar 1930 verliehen
4. 1931Veröffentlichung der Unvollständigkeitssätze
5. 1933Privatdozent an der Universität Wien
6. 1940Auswanderung in die Vereinigten Staaten und Beginn der Arbeit am Institute for Advanced Study in Princeton
7. 1948Amerikanische Staatsbürgerschaft (April)
8. 1978Tod in Princeton (14. Januar)

Werke

Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls (1930); Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I (1931); Russell’s Mathematical Logic (1944)

Lesetipps

Einstieg

Kurt Gödel, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931); der Text ist technisch, einen Einstieg bietet der Eintrag der Stanford Encyclopedia of Philosophy.

Vertiefung

Stanford Encyclopedia of Philosophy, „Kurt Gödel“